Question

2．《中國好聲音》每期節(jié)目有四位導(dǎo)師A，B，C，D參與．其規(guī)則是導(dǎo)師坐在特定的座椅上且背對歌手認(rèn)真傾聽其演唱，若每位參賽選手在演唱完之前有導(dǎo)師欣賞而為其轉(zhuǎn)身，則該選手可以選擇加入為其轉(zhuǎn)身的導(dǎo)師的團(tuán)隊(duì)中接受指導(dǎo)訓(xùn)練；若出現(xiàn)多位導(dǎo)師為同一位學(xué)員轉(zhuǎn)身，則選擇權(quán)反轉(zhuǎn)，交由學(xué)員自行選擇導(dǎo)師，已知某期《中國好聲音》中，8位選手唱完后，四位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的情況統(tǒng)計(jì)如下：（記轉(zhuǎn)身為T）
現(xiàn)從這8位選手中隨機(jī)抽取兩人考查他們演唱完后導(dǎo)師的轉(zhuǎn)身情況．
（1）求選出的兩人獲得導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的人次和為4的概率；
（2）記選出的2人獲得導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身的人次之和為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）

導(dǎo)師 選手	A	B	C	D
1		T		T
2	T	T	T	T
3		T
4	T		T
5	T	T	T
6	T			T
7	T	T	T	T
8		T	T	T

Answer 1

分析 （1）設(shè)8位選手中，2，7有4位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身；5，8有3位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身；1，4，6有2位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身；3只有1位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身．從8人中隨機(jī)抽取兩人有${C}_{8}^{2}=28$種情況，由此能求出其中選出的2人獲得導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身人次和為4的概率．
（2）X的所有可能取值為3，4，5，6，7，8，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)8位選手中，2，7有4位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身；5，8有3位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身；1，4，6有2位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身；3只有1位導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身．
從8人中隨機(jī)抽取兩人有${C}_{8}^{2}=28$種情況，…（2分）
其中選出的2人獲得導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身人次和為4的有${C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}=5$種，…（3分）
設(shè)事件A：“選出的2人獲得導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身人次和為4”，故所求概率為P（A）=$\frac{5}{28}$，…（4分）
答：選出的2人獲得導(dǎo)師為其轉(zhuǎn)身人次和為4的概率為$\frac{5}{28}$．…（5分）
（2）X的所有可能取值為3，4，5，6，7，8   …（6分）
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{28}$，
P（X=4）=$\frac{5}{28}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{C\frac{2}{8}}$=$\frac{8}{28}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{7}{28}$，
P（X=7）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{4}{28}$，
P（X=8）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{28}$，…（10分）
所以X的分布列為：

X	3	4	5	6	7	8
P	$\frac{3}{28}$	$\frac{5}{28}$	$\frac{8}{28}$	$\frac{7}{28}$	$\frac{4}{28}$	$\frac{1}{28}$

E（X）=$3×\frac{3}{28}+4×\frac{5}{28}+5×\frac{8}{28}+6×\frac{7}{28}$+$7×\frac{4}{28}+8×\frac{1}{28}$=$\frac{21}{4}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．