【題目】定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(2x)=x2-2x.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)若關于x的方程f(x)=在(1,4)上有實根,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)f(x)=(log2x)2-2log2x,x>0(Ⅱ)-≤a<-
【解析】
(Ⅰ)令t=2x,則x=log2t,代入函數(shù)f(x),即可得到所求解析式;
(Ⅱ)運用配方,求得函數(shù)f(x)的值域,再由分式不等式的解法,可得所求范圍.
解:(Ⅰ)令t=2x,則x=log2t,
由f(2x)=x2-2x得f(t)=(log2t)2-2log2t,
即f(x)=(log2x)2-2log2x,x>0;
(Ⅱ)f(x)=(log2x)2-2log2x=(log2x-1)2-1=,
由x∈(1,4),可得log2x∈(0,2),(log2x-1)2-1∈[-1,0),
即-1≤<0,
即為≥0且a>5或a<-,
解得-≤a<-.
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【題目】已知正三棱柱的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示,設,的中心分別為, ,現(xiàn)將此三棱柱繞直線旋轉(zhuǎn),射線旋轉(zhuǎn)所成角為弧度(可以取到任意一個實數(shù)),對應的俯視圖的面積為,則函數(shù)的最大值為__________,最小正周期為__________.
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【題目】某高三畢業(yè)班甲、乙兩名同學在連續(xù)的8次數(shù)學周練中,統(tǒng)計解答題失分的莖葉圖如下:
(1)比較這兩名同學8次周練解答題失分的均值和方差的大小,并判斷哪位同學做解答題相對穩(wěn)定些;
(2)以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計甲、乙兩名同學失分超過15分的頻率作為頻率,假設甲、乙兩名同學在同一次周練中失分多少互不影響,預測在接下來的2次周練中,甲、乙兩名同學失分均超過15分的次數(shù)X的分布列和均值.
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【題目】設是兩條不同的直線, 是三個不同的平面,給出下列四個命題:
①若,則 ②若,則
③若,則 ④若,則
其中正確命題的序號是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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【題目】一個算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結果為10,則判斷框中應填入的條件是( )
A.k≥﹣3
B.k≥﹣2
C.k<﹣3
D.k≤﹣3
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【題目】數(shù)學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線若的頂點,,且的歐拉線的方程為,則頂點C的坐標為
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在圓錐PO中,已知,圓O的直徑,C是弧AB的中點,D為AC的中點.
(1)求異面直線PD和BC所成的角的正切值;
(2)求直線OC和平面PAC所成角的正弦值.
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【題目】設函數(shù), .
(1)當時,求曲線在點處的切線方程;
(2)如果不等式對于一切的恒成立,求的取值范圍;
(3)證明:不等式對于一切的恒成立.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ x2(a<﹣1)對任意的x1、x2>0,恒有|f(x1)﹣f(x2)|≥4|x1﹣x2|,則a的取值范圍為 .
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