1.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a≠0).
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處與直線y=8相切,求a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)與極值.

分析 (Ⅰ)求出導(dǎo)數(shù),由題意可得f′(2)=0且f(2)=8,解方程即可;
(Ⅱ)求出導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)數(shù)為0,解出方程,再求單調(diào)區(qū)間,從而確定極值.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=3x2-3a,?
因?yàn)榍y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處與直線y=8相切,?
所以f′(2)=0且f(2)=8,即3(4-a)=0且8-6a+b=8,?
解得a=4,b=24;
(Ⅱ)∵f′(x)=3x2-3a,(a≠0),
當(dāng)a<0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn).
當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0⇒x=±$\sqrt{a}$,
當(dāng)x∈(-∞,-$\sqrt{a}$)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(-$\sqrt{a}$,$\sqrt{a}$)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈($\sqrt{a}$,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
∴此時(shí)x=-$\sqrt{a}$是f(x)的極大值點(diǎn),x=$\sqrt{a}$是f(x)的極小值點(diǎn),
∴f(x)極大值=f(-$\sqrt{a}$)=2a$\sqrt{a}$+b,f(x)極小值=f($\sqrt{a}$)=-2a$\sqrt{a}$+b.

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用:求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值,考查運(yùn)算能力,是一道中檔題.

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