Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a、b的值；
（2）當a2=4b時，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（﹣∞，﹣1）上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax2+1（a＞0），則f'（x）=2ax，k1=2a，g（x）=x3+bx，則g′（x）=3x2+b，k2=3+b，

由（1，c）為公共切點，可得：2a=3+b ①

又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：

（2）解：由題設(shè)a2=4b，設(shè)

則 ，令h'（x）=0，解得： ， ；

∵a＞0，∴ ，

x	（﹣∞，﹣ ）	﹣		-	）
h′（x）	+		﹣		+
h（x）		極大值		極小值

∴原函數(shù)在（﹣∞，﹣ ）單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，在 ）上單調(diào)遞增

①若 ，即0＜a≤2時，最大值為 ；

②若 ＜﹣ ，即2＜a＜6時，最大值為

③若﹣1≥﹣ 時，即a≥6時，最大值為h（﹣ ）=1

綜上所述：當a∈（0，2]時，最大值為 ；當a∈（2，+∞）時，最大值為

【解析】（1）根據(jù)曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，可知切點處的函數(shù)值相等，切點處的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根據(jù)a2=4b，構(gòu)建函數(shù) ，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而分類討論，確定函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，﹣1）上的最大值．
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．