Question

已知f（x）=e^x-e^-x，g（x）=e^x+e^-x，其中e=2.718…．設(shè)f（x）•f（y）=4，g（x）•g（y）=8，求

g(x+y)

f(x+y)

的值．

Answer 1

考點：有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）•f（y）=4，g（x）•g（y）=8，可得（e^x-e^-x）（e^y-e^-y）=4，（e^x+e^-x）（e^y+e^-y）=8，
解得e^x+y+e^-x-y=6，設(shè)e^x+y=t＞0，則t+

1

t

=6，可得t²-6t+1=0，解得t．于是

g(x+y)

f(x+y)

=

ex+y+e-x-y

ex+y-e-x-y

=

t2+1

t2-1

．

解答： 解：∵f（x）•f（y）=4，g（x）•g（y）=8，
∴（e^x-e^-x）（e^y-e^-y）=4，
（e^x+e^-x）（e^y+e^-y）=8，
化為e^x+y-e^x-y-e^-x+y+e^-x-y=4，
e^x+y+e^-x+y+e^x-y+e^-x-y=8，
解得e^x+y+e^-x-y=6，
設(shè)e^x+y=t＞0，則t+

1

t

=6，∴t²-6t+1=0，
解得t=3±2

2

．
∴

g(x+y)

f(x+y)

=

ex+y+e-x-y

ex+y-e-x-y

=

t2+1

t2-1

=

6t

6t-2

=

3t

3t-1

=±

3 2

4

．

點評：本題考查了指數(shù)冪的運算法則，考查了整體思想解決問題的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．