Question

已知函數(shù)f(x)＝.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若函數(shù)y＝g(x)對任意x滿足g(x)＝f(4－x)，求證：當x>2，f(x)>g(x)；

(3)若x₁≠x₂，且f(x₁)＝f(x₂)，求證：x₁＋x₂>4.

Answer 1

[解]　(1)∵f(x)＝，∴f′(x)＝.

令f′(x)＝0，解得x＝2.

x	(－∞，2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－
f(x)		極大值

∴f(x)在(－∞，2)內(nèi)是增函數(shù)，在(2，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)．

∴當x＝2時，f(x)取得極大值f(2)＝.

(2)g(x)＝f(4－x)＝，令F(x)＝f(x)－g(x)＝－，

∴F′(x)＝－＝.

當x>2時，2－x<0,2x>4，從而e⁴－e^2x<0，

∴F′(x)>0，F(x)在(2，＋∞)是增函數(shù)．

∴F(x)>F(2)＝－＝0，故當x>2時，f(x)>g(x)成立．

(3)∵f(x)在(－∞，2)內(nèi)是增函數(shù)，在(2，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)．

∴當x₁≠x₂，且f(x₁)＝f(x₂)，x₁、x₂不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)．

不妨設x₁<2<x₂，由(2)可知f(x₂)>g(x₂)，又g(x₂)＝f(4－x₂)，∴f(x₂)>f(4－x₂)．

∵f(x₁)＝f(x₂)，∴f(x₁)>f(4－x₂)．

∵x₂>2,4－x₂<2，x₁<2，且f(x)在區(qū)間(－∞，2)內(nèi)為增函數(shù)，

∴x₁>4－x₂，即x₁＋x₂>4.