Question

5．已知實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是4^a與2^b的等比中項(xiàng)，則$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值是（　�。�

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{11}{3}$
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得2a+b=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵實(shí)數(shù)a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是4^a與2^b的等比中項(xiàng)，∴2=4^a•2^b，∴2a+b=1．
則$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}）$=4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥4+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=8，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
其最小值是8．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比中項(xiàng)的性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．