Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）-1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)F（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+3|f（x）+1|-m，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式，兩角和的正弦公式化簡解析式，由正弦函數(shù)的減區(qū)間求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由（1）化簡F（x）的解析式，將F（x）有三個零點轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的方程有三個不同的解，由x的范圍求出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，設(shè)t=$2x+\frac{π}{6}$，令g（t）=sint+3|sint|，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（t）的圖象與直線y=m有三個交點，化簡g（t）的解析式后由正弦函數(shù)的圖象畫出圖象，由條件和圖象求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos（x-$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$）-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x-1=$sin（2x+\frac{π}{6}）-1$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由（1）得，f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）-1$，
∴F（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+3|$sin（2x+\frac{π}{6}）$|-m，
因此，F(xiàn)（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]上有三個零點，
等價于方程cos（2x-$\frac{π}{3}$）+3|$sin（2x+\frac{π}{6}）$|-m=0在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]上有三個不同的根，
由$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{3}]$得，$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{5π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
設(shè)t=$2x+\frac{π}{6}$，則$t∈[-\frac{5π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
令g（t）=sint+3|sint|，且$t∈[-\frac{5π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
∴方程cos（2x-$\frac{π}{3}$）+3|$sin（2x+\frac{π}{6}）$|-m=0在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]上有三個不同的根，
等價于函數(shù)g（t）的圖象與直線y=m由三個不同的交點，

又函數(shù)g（t）=sint+3|sint|=$\left\{\begin{array}{l}{-2sint，t∈[-\frac{5π}{6}，0）}\\{4sint，t∈[0，\frac{5π}{6}]}\end{array}\right.$的圖象如圖所示：
由圖得，實數(shù)m的取值范圍是[1，2]．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換中的公式，以及函數(shù)零點、方程的根與函數(shù)圖象交點之間的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，化簡、變形能力．