Question

14．在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E，M，N分別為PD，CD，AD的中點，$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FD}$．
（1）證明：PB∥平面FMN；
（2）若PA=AB，求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，分別交AC、MN于點O，G，連結(jié)EO、FG，推導出EO∥PB，F(xiàn)G∥EO，PB∥FG，由此能證明PB∥平面FMN．
（2）以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出二面角E-AC-B的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)BD，分別交AC、MN于點O，G，連結(jié)EO、FG，
∵O為BD中點，E為PD中點，∴EO∥PB，
又$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FD}$，∴F為ED中點，又CM=MD，AN=DN，∴G為OD的中點，
∴FG∥EO，∴PB∥FG，
∵FG?平面FMN，PB?平面FMN，
∴PB∥平面FMN．
解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，
∴PA⊥平面ABCD，
如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
設(shè)PA=AB=2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），
則$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），
平面ABCD的一個向向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面AEC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由圖知二面角E-AC-B為鈍角，
∴二面角E-AC-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題要認真審題，注意向量法的合理運用．