Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

4+ 1 x2

，數(shù)列{a_n}滿足：點(diǎn)P(an，

1

an+1

)在曲線y=f（x）上，其中n∈N^*，且a₁=1，a_n＞0．
（I）求a₂和a₃；
（II）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（III）若bn=

1

an2

+2n，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，

1

an+1

=f(an)=

4+ 1 an2

，把n=，2直接代入即可求解
（II）由已知可得，

1

an+12

-

1

an2

=4，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求

1

an2

，進(jìn)而可求
（III）bn=

1

an2

+2n=4n-3+2ⁿ，利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可求解

解答：解：（I）由題意可得，

1

an+1

=f(an)=

4+ 1 an2

，
當(dāng)n=1時(shí)，

1

a2

=

5

即a2=

5

5

當(dāng)n=2時(shí)，

1

a3

=

9

=3即a3=

1

3

（II）∵a₁=1，a_n＞0．
∴

1

an+12

-

1

an2

=4
∵

1

a1

=1
∴數(shù)列{

1

an2

}是以1為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3
∴an=

1

4n-3

（III）bn=

1

an2

+2n=4n-3+2ⁿ
∴T_n=（1+2¹）+（5+2²）+…+（4n-3+2ⁿ）
=n+

n(n-1)

2

×4+

2(1-2n)

1-2

=2n²-n+2ⁿ⁺¹-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，及利用分組求和方法的應(yīng)用，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用．