Question

20．△ABC中，$\frac{sinA}{cosA}$+$\frac{sinB}{cosB}$=$\sqrt{2}$$\frac{sinC}{cosA}$．
（1）求角B的大小；
（2）若$\frac{sinA}{sinC}$+$\frac{sinC}{sinA}$=2，求$\frac{b^2}{ac}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式化簡已知可得$cosB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，結合范圍B∈（0，π），即可求B的值．
（2）由正弦定理化簡已知可求$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{ac}=2$，進而可求a=c，利用余弦定理可求$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$的值，進而可求$\frac{b^2}{ac}$的值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵$\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}=\frac{sin（A+B）}{cosAcosB}=\frac{sinC}{cosAcosB}$，…（3分）
∴$\frac{sinC}{cosAcosB}=\sqrt{2}\frac{sinC}{cosA}$，
∴$cosB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（6分）
∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{4}$…（7分）
（2）∵$\frac{sinA}{sinC}+\frac{sinC}{sinA}=\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=2$，…（9分）
∴$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{ac}=2$，
∴（a-c）²=0，
∴a=c，…（11分）
∵${b^2}={a^2}+{c^2}-2accosB=2{a^2}-\sqrt{2}{a^2}=（2-\sqrt{2}）{a^2}$，
∴$\frac{b^2}{ac}=2-\sqrt{2}$．…（14分）

點評 本題主要考查了三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．