Question

3．已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為F₁和F₂且F₁F₂|=2，點P（1，$\frac{3}{2}$）在該橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及其離心率e；
（Ⅱ）過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，若△AF₂B的面積為$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，求以F₂為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），由F₁F₂|=2，點P（1，$\frac{3}{2}$）在該橢圓上，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程及其離心率．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=ty-1，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得：（4+3t²）y²-6ty-9=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出以F₂為圓心且與直線l相切的圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，
∴設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞b＞0），
∵左右焦點分別為F₁和F₂且F₁F₂|=2，點P（1，$\frac{3}{2}$）在該橢圓上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2c=2}\\{\frac{{1}^{\;}}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=ty-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去x，得：（4+3t²）y²-6ty-9=0，
∵△＞0恒成立，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{6t}{4+3{t}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-9}{4+3{t}^{2}}$，
∴|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{4+3{t}^{2}}$，|F₁F₂|=2，圓F₂的半徑為r=$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，
∵${S}_{△A{F}_{2}B}$=$\frac{1}{2}×$|y₁-y₂|×|F₁F₂|=$\frac{1}{2}×\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{4+3{t}^{2}}$×2=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
∴$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{4+3{t}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，∴t²=1，
∴r=$\frac{2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴以F₂為圓心且與直線l相切的圓的方程為（x-1）²+y²=2．

點評 本題考查橢圓方程及其離心率的求法，考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．