Question

14．△ABC的內(nèi)角A，B，C對的邊為a，b，c，向量$\overrightarrow m=（{a，\sqrt{3}b}）$與$\overrightarrow n=（{cosA，sinB}）$平行．
（1）求角A；
（2）若a=2，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由向量$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$平行，結(jié)合向量平行的坐標表示公式可得$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，進而變形可得$sinAsinb=\sqrt{3}sinBcosA$，即可得tanA的值，結(jié)合A的范圍可得答案；
（2）根據(jù)題意，有a與A的值，結(jié)合正弦定理可得2R=$\frac{2}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，進而可得b+c=2R（sinB+sinC），進而變形可得b+c=4sin（B+$\frac{π}{6}$），分析可得sin（B+$\frac{π}{6}$）的范圍，計算可得b+c的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由于$\overrightarrow m=（{a，\sqrt{3}b}）$與$\overrightarrow n=（{cosA，sinB}）$平行，
則有$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，
∴$sinAsinb=\sqrt{3}sinBcosA$，
∵sinB≠0，
∴$tanA=\sqrt{3}$，
又由0＜A＜π，則A=$\frac{π}{3}$；
（2）a=2，A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得：2R=$\frac{2}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
∴$b+c=2R（{sinB+sinC}）=2R（{sinB+sin（{\frac{2π}{3}-B}）}）=4sin（{B+\frac{π}{6}}）$，
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（{B+\frac{π}{6}}）≤1$，
∴2＜b+c≤4．

點評 題考查了正弦定理的應用，涉及向量平行的坐標表示公式和兩角和差的正弦函數(shù)公式，關(guān)鍵是求出A的值．