解:f'(x)=e
x[x
2+(a+2)x+a+2],
(1)當a=0時,f(x)=(x
2+2)e
x,f'(x)=e
x(x
2+2x+2),
f(1)=3e,f'(1)=5e,
∴函數(shù)f(x)的圖象在點A(1,f(1))處的切線方程為y-3e=5e(x-1),
即5ex-y-2e=0
(2)f'(x)=e
x[x
2+(a+2)x+a+2],,
考慮到e
x>0恒成立且x
2系數(shù)為正,
∴f(x)在R上單調(diào)等價x
2+(a+2)x+a+2≥0恒成立.
∴(a+2)
2-4(a+2)≤0,
∴-2≤a≤2,即a的取值范圍是[-2,2],
(3)當a=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
時,f(x)=(x
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
x+2)e
x,f'(x)=e
x(x
2-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
x-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
),
令f'(x)=0,得x=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,或x=1,
令f'(x)>0,得x<-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,或x>1,
令f'(x)<0,得-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
<x<1????????????????????
x,f'(x),f(x)的變化情況如下表
X | (-∞,- ) | -![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png) | (- ,1) | 1 | (1,+∞) |
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 增 | 極大值 | 減 | 極小值 | 增 |
所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/25556.png)
分析:(1)先求出函數(shù)f(x)的導函數(shù),求出切點坐標,根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=1處的導數(shù),從而求出切線的斜率,再用點斜式寫出切線方程,化成一般式即可;
(2)若f(x)在R上單調(diào),則f'(x)=e
x[x
2+(a+2)x+a+2]>0恒成立,考慮到e
x>0恒成立且x
2系數(shù)為正,從而等價x
2+(a+2)x+a+2≥0恒成立,利用判別式建立關系式,即可求出所求;
(3)先求出f′(x)=0的值,再討論滿足f′(x)=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況,來確定極值即可.
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和恒成立問題,同時考查了計算能力、轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,屬于綜合題.