Question

10．如圖，已知四邊形ABCD，ADEF均為平行四邊形，DE=BC=2，BD⊥CD，DE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：平面FAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐F-ABCD的體積的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出BD⊥AB，AF⊥平面ABCD，故而BD⊥AF，得出BD⊥平面FAB，于是平面FAB⊥平面ABCD；
（II）利用基本不等式得出CD•BD的最大值，即平行四邊形ABCD的最大值，代入棱錐的體積公式得出體積的最大值．

解答 證明：（I）∵四邊形ABCD，ADEF是平行四邊形，
∴CD∥AB，DE∥AF．
∵BD⊥CD，DE⊥平面ABCD，
∴BD⊥AB，AF⊥平面ABCD．
∴BD⊥AF，又AB?平面FAB，AF?平面FAB，AB∩AF=A，
∴BD⊥平面FAB，又BD?平面ABCD，
∴平面FAB⊥平面ABCD．
解：（II）∵CD⊥BD，BC=2，
∴CD²+BD²=4，
∴CD•BD≤$\frac{C{D}^{2}+B{D}^{2}}{2}$=2．
∴S_{平行四邊形ABCD}=CD•BD≤2．
∴V_F-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{平行四邊形ABCD}•FA$$≤\frac{1}{3}×2×2$=$\frac{4}{3}$．
即四棱錐F-ABCD的體積的最大值為$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．