Question

5．已知點P在曲線y=$\frac{4}{{{e^x}+1}}$上，θ為曲線在點P處的切線的傾斜角，則θ的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{π}{4}$）
• B． $[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$
• C． $[\frac{3π}{4}，π）$
• D． $（\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}]$

Answer 1

分析 由導函數(shù)的幾何意義可知函數(shù)圖象在切點處的切線的斜率值即為其點的導函數(shù)值，結合函數(shù)的值域的求法利用基本不等式求出k的范圍，再根據(jù)k=tanθ，結合正切函數(shù)的圖象求出角θ的范圍．

解答 解：根據(jù)題意得f′（x）=-$\frac{{4e}^{x}}{{e}^{2x}+{2e}^{x}+1}$，
∵k=-$\frac{{4e}^{x}}{{e}^{2x}+{2e}^{x}+1}$≤-$\frac{4}{2+2}$=-1，且k＜0，
則曲線y=f（x）上切點處的切線的斜率k≥-1，
又∵k=tanθ，結合正切函數(shù)的圖象：

由圖可得θ∈[$\frac{3π}{4}$，π），
故選：C．

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義，以及利用正切函數(shù)的圖象求傾斜角等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．