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證明函數f(x)=
3x-2
在區(qū)間(-∞,2)上是減函數.
分析:設x1、x2∈(-∞,2),且x1<x2,將f(x1)與f(x2)作差,通分分解得
3(x2-x1)
(x1-2)(x2-2)
,再討論各因式的正負,可得f(x1)>f(x2),從而使函數的單調性等到證明.
解答:解:設x1、x2∈(-∞,2),且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=
3
x1-2
-
3
x2-2
=
3(x2-x1)
(x1-2)(x2-2)

∵x1、x2∈(-∞,2),∴x1-2<0,x2-2<0
又∵x1<x2,
∴3(x2-x1)>0,可得
3(x2-x1)
(x1-2)(x2-2)
>0
∴f(x1)-f(x2)>0,得f(x1)>f(x2
因此,函數f(x)=
3
x-2
在區(qū)間(-∞,2)上是減函數.
點評:本題通過證明一個分式函數的單調性,考查了函數單調性的判斷與證明的知識,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

證明函數f(x)=
2x-5
x
2
 
+1
在區(qū)間(2,3)上至少有一個零點.

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科目:高中數學 來源: 題型:

用定義法證明函數f(x)=x+
9x
在區(qū)間[3,+∞)上為增函數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

①證明函數f(x)=
2x2-1
在區(qū)間[2,+∞)是增函數.
②證明函數f(x)=
2x+7
x+3
在區(qū)間(-3,+∞)上是減函數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(Ⅰ)用定義證明函數f(x)=x+
4x
在[2,+∞)上單調遞增;
(Ⅱ)用(Ⅰ)的結論求y=f(2x)(x∈[0,3])的最值及相應的x的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

探究f(x)=x+
1
x
,x∈(0,+∞)
的最小值,并確定相應的x的值,類表如下:
x
1
4
1
3
1
2
1 2 3 4
y
17
4
10
3
5
2
2
5
2
10
3
17
4

請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成下列的問題:
(1)若x1x2=1,則f(x1
 
f(x2)(請 用“>”、“<”或“=”填上);若函數f(x)=x+
1
x
,(x>0)
在區(qū)間(0,1)上單調遞減,則在區(qū)間
 
上單調遞增.
(2)當x=
 
時,f(x)=x+
1
x
,(x>0)
的最小值為
 

(3)證明函數f(x)=x+
1
x
在區(qū)間(1,+∞)上為單調增函數.

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