Question

如圖所示，空間中有一直角三角形POA，∠O為直角，OA=4，PO=3，現(xiàn)以其中一直角邊PO為軸，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后，將A點所在的位置記為B，再按逆時針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)120°后，A點所在的位置記為C．
（Ⅰ）連結(jié)BC，取BC的中點為D，求證：面PDO⊥面PBC；
（Ⅱ）求PA與平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由題意知△POB與△POC全等，從而得到PD⊥BC，OD⊥BC，由此能夠證明面PDO⊥面PBC．
（Ⅱ）由題意知O為AC的中點，取PC的中點為M，連結(jié)OM，過O作PD的垂線，垂足為N，聯(lián)結(jié)MN，由已知條件推導(dǎo)出∠OMN為OM與平面PBC所成的角，由此能求出PA與平面PBC所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由題意可知：△POB與△POC全等，
OB=OC，PB=PC，D為BC的中點，
∴PD⊥BC，OD⊥BC，
又∵PD∩OD=D，
∴BC⊥面PODBC?面PBC，
∴面PDO⊥面PBC．…（6分）
（Ⅱ）解：由題意知：O為AC的中點，取PC的中點為M，連結(jié)OM，
過O作PD的垂線，垂足為N，連結(jié)MN，
由（Ⅰ）知面PDO⊥面PBC，∴ON⊥面PBC，
∵MN是OM在平面PBC上的射影，
∴∠OMN為OM與平面PBC所成的角，
∴OD=

1

2

AB=

1

2

OA=2，PD=

OD2+PO2

=

13

，
ON=

2×3

13

=

6 13

13

，OM=

1

2

PA=

5

2

，
sin∠OMN=

ON

OM

=

12 13

65

，
∵OM∥PA，∴PA與平面PBC所成的角和OM與平面PBC所成的角相等，
∴PA與平面PBC所成的角的正弦值為

12 13

65

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．