Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（x+1）（a為常數(shù)）
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)題意知：f′（x）= 在[1，+∞）上恒成立． 即a≥﹣2x2﹣2x在區(qū)間[1，+∞）上恒成立．
∵﹣2x2﹣2x在區(qū)間[1，+∞）上的最大值為﹣4，
∴a≥﹣4；
經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)a=﹣4時(shí)， ，x∈[1，+∞）．
∴a的取值范圍是[﹣4，+∞）．
（Ⅱ） 在區(qū)間（﹣1，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即方程2x2+2x+a=0在區(qū)間（﹣1，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
記g（x）=2x2+2x+a，則有 ，解得 ．
∴ ， ．
∴
令 ．
，
記 ．
∴ ，
．
在 使得p′（x0）=0．
當(dāng) ，p′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0 ， 0）時(shí)，p′（x）＞0．
而k′（x）在 單調(diào)遞減，在（x0 ， 0）單調(diào)遞增，
∵ ，
∴當(dāng) ，
∴k（x）在 單調(diào)遞減，
即
【解析】（Ⅰ）已知原函數(shù)的值為正，得到導(dǎo)函數(shù)的值非負(fù)，從而求出參量的范圍；（Ⅱ）利用韋達(dá)定理，對(duì)所求對(duì)象進(jìn)行消元，得到一個(gè)新的函數(shù)，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)后，再對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)的研究，得到導(dǎo)函數(shù)的最值，從而得到原函數(shù)的最值，即得到本題結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．