Question

如圖，是圓的直徑，點在圓上，，交于點，平面，，．

（1）證明：；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

（1）見解析   （2）二面角的余弦值為

(I)本小題通過證平面MBF即可.
(2)本小題的關鍵是作出二面角的平面角．延長交于，連，過作，連結．證為平面與平面所成的二面角的平面角即可
（法一）（1）平面平面， ．………1分
又，平面而平面
． ……3分是圓的直徑，．
又，．
平面，，平面．
與都是等腰直角三角形．．
，即（也可由勾股定理證得）．
， 平面．而平面，． 7分
（2）延長交于，連，過作，連結．
由（1）知平面，平面，．而，
平面．平面，，
為平面與平面所成的二面角的平面角．
在中，，，．
由，得．．2
又，，則．
是等腰直角三角形，．
平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．…14分
（法二）（1）同法一，得．
如圖，以為坐標原點，垂直于、、所在直線為軸建立空間直角坐標系．
由已知條件得，
．由，
得， ． …7分
（2）由（1）知．設平面的法向量為，
由 得，
令得，， ……9分由已知平面，所以取面的法向量為，設平面與平面所成的銳二面角為，
則，
平面與平面所成的銳二面角為