Question

若f（x）=

3

cos2ax-sinaxcosax（a＞0）的圖象與直線y=m（m＞0）相切，并且切點橫坐標依次成公差為π的等差數(shù)列．
（1）求a和m的值；
（2）△ABC中a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊．若（

A

2

，

3

2

）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，且a=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用倍角公式和和差角公式，可將f（x）=

3

cos2ax-sinaxcosax化為正弦型函數(shù)，進而根據(jù)f（x）=

3

cos2ax-sinaxcosax（a＞0）的圖象與直線y=m（m＞0）相切，并且切點橫坐標依次成公差為π的等差數(shù)列．可得m為函數(shù)的最大值，函數(shù)的周期為π，進而得到a和m的值；
（2）若（

A

2

，

3

2

）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，可得A=

π

3

，進而根據(jù)余弦定理和基本不等式，可得△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

cos2ax-sinaxcosax=

3

2

（1+cos2ax）-

1

2

sin2ax=

3

2

-sin(2ax-

π

3

)，
∵f（x）=

3

cos2ax-sinaxcosax（a＞0）的圖象與直線y=m（m＞0）相切，并且切點橫坐標依次成公差為π的等差數(shù)列
∴函數(shù)f（x）的周期為π，且最大值為m，
∴a=1，m=

3

2

+1．
（2）∵（

A

2

，

3

2

）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，
∴sin（A-

π

3

）=0，
由A為三角形內(nèi)角，
∴A=

π

3

，
∵a=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
即16=b²+c²-bc≥bc，
故△ABC面積S=

1

2

bcsinA≤4

3

，
即△ABC面積的最大值為4

3

點評：本題考查的知識點是和差角公式，二倍角公式，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式，基本不等式，是三角函數(shù)，不等式的綜合運用，難度中檔．