Question

已知函數(shù)f（x）=（x-e）（lnx-1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若m是f（x）的一個極值點，且點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））滿足條件：（1-lnx₁）（1-lnx₂）=-1．
①求m的值；
②若點P（m，f（m）），判斷A，B，P三點是否可以構成直角三角形？請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)和切線的斜率，及切點，運用點斜式方程，即可得到切線方程；
（Ⅱ）①求出導數(shù)，討論當0＜x＜e時，當x＞e時，導數(shù)的符號，即可判斷極值點，求出P點；
②討論若x₁=e，若x₁=x₂，與條件不符，從而得x₁≠x₂．計算向量PA，PB的數(shù)量積，即可判斷PA⊥PB．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=lnx-

e

x

，f'（1）=-e，又f（1）=e-1，
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-（e-1）=-e（x-1），
即ex+y-2e+1=0．  
（Ⅱ）①對于f′(x)=lnx-

e

x

，定義域為（0，+∞）．
當0＜x＜e時，lnx＜1，-

e

x

＜-1，∴f′(x)=lnx-

e

x

＜0；
當x=e時，f'（x）=1-1=0；
當x＞e時，lnx＞1，-

e

x

＞-1，∴f′(x)=lnx-

e

x

＞0
∴f（x）存在唯一的極值點e，∴m=e，則點P為（e，0）
②若x₁=e，則（1-lnx₁）（1-lnx₂）=0，與條件（1-lnx₁）（1-lnx₂）=-1不符，
從而得x₁≠e．同理可得x₂≠e．
若x₁=x₂，則(1-lnx1)(1-lnx2)=(1-lnx1)2≥0，
與條件（1-lnx₁）（1-lnx₂）=-1不符，從而得x₁≠x₂．
由上可得點A，B，P兩兩不重合．

PA

•

PB

=(x1-e，f(x1))•(x2-e，f(x2))
=（x₁-e）（x₂-e）+（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁-1）（lnx₂-1）
=（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁lnx₂-lnx₁x₂+2）=0
從而PA⊥PB，點A，B，P可構成直角三角形．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求切線方程和求極值，考查運用向量的數(shù)量積為0，證明線段垂直的方法，屬于中檔題．