Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，過橢圓頂點（a，0），（0，b）的直線與圓x²+y²=

2

3

相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點 M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點 A，B，設(shè) P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（ O為坐標原點），當|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

時，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意知e=

c

a

=

2

2

，利用a²=b²+c²，可得a²=2b²；由于過橢圓頂點（a，0），（0，b）的直線bx+ay-ab=0與圓x2+y2=

2

3

相切，
可得

|ab|

a2+b2

=

2 3

，聯(lián)立解得即可．
（2）由題意知直線AB的斜率存在．設(shè)AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），與橢圓方程聯(lián)立可得△＞0，及其根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量坐標運算、弦長公式、點與橢圓的位置關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）由題意知e=

c

a

=

2

2

，
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

．即a²=2b²，①
∵過橢圓頂點（a，0），（0，b）的直線bx+ay-ab=0與圓x2+y2=

2

3

相切，
∴

|ab|

a2+b2

=

2 3

，②
由①②聯(lián)立解得a²=2，b²=1，
故橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由題意知直線AB的斜率存在．設(shè)AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1.

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，可得k2＜

1

2

，
∴x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，x1•x2=

8k2-2

1+2k2

．
∵

OA

+

OB

=t

OP

（ O為坐標原點），
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=（tx，ty），
∴（x，y）=(

x1+x2

t

，

y1+y2

t

)，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=

-4k

1+2k2

．
∵點P在橢圓上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，
∴16k²=t²（1+2k²），
∵|

PA

-

PB

|＜

2 5

3

，
∴

1+k2

|x1-x2|＜

2 5

3

，
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1•x2]＜

20

9

，
∴(1+k2)[

64k4

(1+2k2)2

-4×

8k2-2

1+2k2

]＜

20

9

，
∴（4k²-1）（14k²+13）＞0，
∴k2＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜

1

2

，
∵16k²=t²（1+2k²），
∴t2=

16k2

1+2k2

=8-

8

1+2k2

，
∴-2＜t＜-

2 6

3

或

2 6

3

＜t＜2，
∴實數(shù)取值范圍為(-2，-

2 6

3

)∪(

2 6

3

，2)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標運算、弦長公式、點與橢圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．