Question

已知函數f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）函數f（x）是否有負零點，若有，請求出負零點；若沒有，請予以證明．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：（1）先求出函數的定義域，利用導數的符號判斷函數的單調性．
（2）化簡函數的解析式，根據函數的單調性及最值判斷函數的零點個數，從而得出結論．

解答： 解：（1）由函數f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1），可得x≠-1，
故函數f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞）．   
由于f′（x）=a^xlna+

3

(x+1)2

，a＞1，∴a^x＞0，lna＞0，又x≠-1，

3

(x+1)2

＞0．
所以，當x∈（-∞，-1）時，f'（x）＞0；當x∈（-1，+∞），f'（x）＞0．   
故函數f（x）在（-∞，-1）和（-1，+∞）上是單調遞增的．   
（2）函數f（x）沒有負零點，原因如下：
f（x）=a^x+

x-2

x+1

=a^x-

3

x+1

+1，
當x＜-1時，因為a^x＞0，-

3

x+1

＞0，所以f（x）＞1，故函數f（x）在（-∞，-1）上沒有零點．
當-1＜x＜0時，因為函數f（x）在（-1，+∞）上是單調遞增的，
所以，當-1＜x＜0時，f（x）＜f（0），又f（0）=a⁰-

3

0+1

+1=-1，所以f（x）＜-1．
故函數f（x）在（-1，0）上沒有零點． 
綜上可知，函數f（x）沒有負零點．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、函數的零點的判定定理，屬于中檔題．