Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P在橢圓上，△PF₁F₂的周長為16，直線2x+y=4經過橢圓上的頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓同時被直線l₁：10x-5y-21=0與l₂：10x-15y-33=0平分，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）首先，設橢圓的半焦距，然后，建立方程組，求解a，b即可確定其標準方程；
（2）首先，聯立方程組求解點M的坐標，然后設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁≠x₂，代入橢圓的標準方程，然后，利用兩個方程相減思想，進而確定直線l的斜率，從而得到其直線方程．

解答： 解：（1）設橢圓的半焦距為c，則根據題意，
得

b=4 2a+2c=16 a2=b2+c2

，
解得

a=5 c=3

，
∴b=4，
∴

x2

25

+

y2

16

=1，
所以橢圓的標準方程為：

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）設AB的中點為M（x，y），則

10x-5y-21=0 10x-15y-33=0

，
∴

x= 3 2 y=- 6 5

，
∴M（

3

2

，-

6

5

），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁≠x₂，
將A、B點的坐標代人橢圓的標準方程，得
∴

x12 25 + y12 16 =1 x22 25 + y22 16 =1

，
兩式相減，得

x12-x22

25

+

y12-y22

16

=0，
∴

(x1-x2)(x1+x2)

25

+

(y1-y2)(y1+y2)

16

=0，
又∵AB的中點為M（

3

2

，-

6

5

），
∴x₁+x₂=3，y₁+y₂=-

12

5

，
∴

3

25

(x1-x2)-

3

20

(y1-y2)=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=

4

5

，
即直線l的斜率為

4

5

，
∴直線l的方程為：y+

6

5

=

4

5

（x-

3

2

），
即4x-5y-12=0．
∴直線l的方程為4x-5y-12=0．

點評：本題重點考查了直線方程、橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質、直線與橢圓的位置關系、弦的中點問題等知識，屬于中檔題，注意掌握“設而不求”思想在求解弦的中點問題中的靈活運用．