Question

給出下列命題：
①如果函數(shù)f（x）對任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a為一個常數(shù)），那么函數(shù)f（x）必為偶函數(shù)；
②如果函數(shù)f（x）對任意的x∈R，滿足f（2+x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
③如果函數(shù)f（x）對任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，那么函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)； 
④通過平移函數(shù)y=lgx的圖象和函數(shù)y=lg

x+3

10

的圖象能重合．
其中真命題的序號

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的圖象與圖象變化,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的周期性

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由函數(shù)的奇偶性性定義可知：函數(shù)f（x）不一定為偶函數(shù)，只能是關(guān)于x=a對稱；
②根據(jù)條件可將x換為x+2，即得函數(shù)即為周期是4的函數(shù)；
③根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義即可判斷；
④由對數(shù)的運算法則將函數(shù)y=lg

x+3

10

化為y=lg（x+3）-1，由圖象的平移規(guī)律即可判斷．

解答： 解：①若函數(shù)f（x）對任意的x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a為常數(shù)），
則f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對稱，
若a=0，則函數(shù)為偶函數(shù)，故①錯誤；
②若f（x）對任意的x∈R，滿足f（2+x）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，故②正確；
③若函數(shù)f（x）對任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，
都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
則由函數(shù)的單調(diào)性定義知函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，
故③正確；
④函數(shù)y=lg

x+3

10

即y=lg（x+3）-1，
其圖象可通過函數(shù)y=lgx的圖象先向左平移3個單位，
再向下平移1個單位得到，故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，掌握函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和單調(diào)性的定義是解決函數(shù)問題的重要依據(jù)，同時考查對數(shù)的運算以及函數(shù)的圖象的變換，是一道基礎(chǔ)題．