Question

19．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為1的正方形，CC₁=2，點P是側(cè)棱C₁C的中點．
（1）求證：A₁P⊥平面PBD；
（2）求平面A₁BP與平面CDD₁C₁所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，推導(dǎo)出AC⊥BD，CC₁⊥BD，從而BD⊥A₁P，再由勾股定理得BP⊥A₁P，由此能證明A₁P⊥平面PBD．
（2）以D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面A₁BP與平面CDD₁C₁所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，∵底面ABCD是正方形，AC⊥BD，
又∵側(cè)棱CC₁⊥底面ABCD，∴CC₁⊥BD，
∵AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面AA₁PC，則BD⊥A₁P，
∵${A}_{1}P=\sqrt{3}$，BP=$\sqrt{2}$，${A}_{1}B=\sqrt{5}$，∴${A}_{1}{P}^{2}+B{P}^{2}={A}_{1}{B}^{2}$，∴BP⊥A₁P，
∵BD∩BP=B，∴A₁P⊥平面PBD．
解：（2）以D為坐標原點，DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A₁（1，0，2），B（1，1，0），P（0，1，1），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），
設(shè)平面A₁BP的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
向量$\overrightarrow{DA}=（1，0，0）$是平面CDD₁C₁的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DA}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴平面A₁BP與平面CDD₁C₁所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．