Question

10．我國(guó)南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)學(xué)九章》中獨(dú)立提出了一種求三角形面積的方法-“三斜求積術(shù)”，即△ABC的面積S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}{c}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2}）^{2}}]$．其中a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊．若b=2，且tanC=$\frac{\sqrt{3}sinB}{1-\sqrt{3}cosB}$，則△ABC的面積S的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可求c=$\sqrt{3}$a，代入“三斜求積”公式即可計(jì)算得解．

解答 解：∵tanC=$\frac{\sqrt{3}sinB}{1-\sqrt{3}cosB}$，
∴sinC=$\sqrt{3}$sin（B+C）=$\sqrt{3}$sinA，
∴c=$\sqrt{3}$a，
∵b=2，
∴S=$\sqrt{\frac{1}{4}[{a}^{2}{c}^{2}-（\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2}）^{2}}]$=$\sqrt{\frac{1}{4}[3{a}^{4}-（2{a}^{2}-2）^{2}]}$=$\sqrt{-\frac{1}{4}（{a}^{2}-4）^{2}+5}$，
∴a=2時(shí)，△ABC的面積S的最大值為$\sqrt{5}$，
故答案為$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．