Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3+x2+ax-5
（1）若函數(shù)在（-∞，+∞）總是單調(diào)函數(shù)，求：實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)在[1，+∞）上總是單調(diào)函數(shù)，求：實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)在區(qū)間（-3，1）上單調(diào)遞減，求：實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：求函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)的f（x）的導數(shù)f′（x）=x²+2x+a，
（1）若函數(shù)在（-∞，+∞）總是單調(diào)函數(shù)，
則滿足f′（x）=x²+2x+a≥0恒成立，
即判別式△=4-4a≤0，解得a≥1；
（2）若函數(shù)在[1，+∞）上總是單調(diào)函數(shù)，
則滿足f′（x）=x²+2x+a≥0在[1，+∞）恒成立，
即a≥-x²-2x在[1，+∞）上恒成立，
∵-x²-2x=-（x+1）²+1，在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)y=-x²-2x的最大值為-3，
則a≥-3；
（3）函數(shù)在區(qū)間（-3，1）上單調(diào)遞減，
則滿足f′（x）=x²+2x+a≤0在（-3，1）恒成立，
即a≤-x²-2x，
∵-x²-2x=-（x+1）²+1，
∴對稱軸為x=-1，
則當x=1或x=-3時，y=-x²-2x=-3，
則-x²-2x＞-3
∴a≤-3．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，利用導數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．