Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）-2sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求證：當x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時，f（x）≥-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)兩角差的余弦公式和兩角和正弦公式即可求出f（x）sin（2x+$\frac{π}{3}$），根據(jù)周期的定義即可求出，
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可證明．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{3}$）-2sinxcosx，
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$co2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）-sin2x，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x，
=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴f（x）的最小正周期為π，
（Ⅱ）∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴f（x）≥-$\frac{1}{2}$

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡以及周期的定義和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題