Question

【題目】已知中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足（為常數(shù)且），動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（Ⅰ）試求曲線的方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，過(guò)定點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，是曲線上不同于，的動(dòng)點(diǎn)，試求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（），（2）當(dāng)的方程為時(shí)，的面積最大，最大值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ） ，即點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)， 的橢圓；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果可知方程為 ，斜率不存在時(shí)，面積無(wú)最大值，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，與其平行并且和橢圓相切時(shí)三角形的面積最大，所以根據(jù)方程聯(lián)立后的根與系數(shù)的關(guān)系表示弦長(zhǎng)和平行線間的距離得到，表示為關(guān)于的函數(shù)，計(jì)算函數(shù)的最大值.

試題解析：（Ⅰ）在中，因?yàn)?/span>，所以（定值），且，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓（除去、與共線的兩個(gè)點(diǎn)）.

設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，

所以求曲線的軌跡方程為（），

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，橢圓方程為.

①過(guò)定點(diǎn)的直線與軸重合時(shí)，面積無(wú)最大值，

②過(guò)定點(diǎn)的直線不與軸重合時(shí),

設(shè)方程為：，、，

若，因?yàn)?/span>，故此時(shí)面積無(wú)最大值.

根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，不妨設(shè)，

聯(lián)立方程組消去整理得：，

所以則.

因?yàn)楫?dāng)直線與平行且與橢圓相切時(shí)，切點(diǎn)到直線的距離最大，

設(shè)切線：，

聯(lián)立消去整理得，

由，解得.

又點(diǎn)到直線的距離，

所以，

所以.將代入得：，

令，設(shè)函數(shù)，則，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以.

故時(shí)，面積最大值是.

所以，當(dāng)的方程為時(shí)，的面積最大，最大值為.