設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+π)=f(x-π),f(
π
2
-x
)=f(
π
2
+x
),當(dāng)x∈[-
π
2
,
π
2
]
時,0<f(x)<1;當(dāng)x∈(-
π
2
,
π
2
)
且x≠0時,x•f′(x)<0,則y=f(x)與y=cosx的圖象在[-2π,2π]上的交點個數(shù)是( 。
分析:確定函數(shù)f(x)的圖象及性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合的方法,即可求得結(jié)論.
解答:解:∵f(x+π)=f(x-π),∴f(x+2π)=f(x),∴函數(shù)的周期為2π
∵f(
π
2
-x
)=f(
π
2
+x
),∴函數(shù)關(guān)于直線x=
π
2
對稱
∵當(dāng)x∈(-
π
2
π
2
)
且x≠0時,x•f′(x)<0,
∴x∈[0,
π
2
)時,f(x)為單調(diào)減函數(shù);x∈(-
π
2
,0)時,f(x)為單調(diào)增函數(shù),
∵x∈[-
π
2
π
2
]
時,0<f(x)<1,
∴y=f(x)與y=cosx的圖象在[-2π,2π]上的圖象如圖所示
精英家教網(wǎng)
所以y=f(x)與y=cosx的圖象在[-2π,2π]上的交點個數(shù)是4個
故選C.
點評:本題考查函數(shù)與方程思想,考查數(shù)形結(jié)合,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
x-2
(x>2)
1
2-x
(x<2)
1(x=2)
,若關(guān)于x的方程f2(x)+af(x)+b=3有且只有3個不同實數(shù)解x1、x2、x3,且x1<x2<x3,則x12+x22+x32=
 

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設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)•f(x+2)=3,若f(1)=2,則f(5)=
2
2
;f(2011)=
3
2
3
2

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(2013•順義區(qū)二模)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x∈[0,π]時,0<f(x)<1;當(dāng)x∈(0,π)且x≠
π
2
時,(x-
π
2
)f′(x)<0
.則函數(shù)y=f(x)-cosx在[-3π,3π]上的零點個數(shù)為
6
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件:①f(x+1)=-f(x)對任意的x都成立;②當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=ex-e•cos
πx
2
+m(其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù),m是常數(shù)).記f(x)在區(qū)間[2013,2016]上的零點個數(shù)為n,則( 。
A、m=-
1
2
,n=6
B、m=1-e,n=5
C、m=-
1
2
,n=3
D、m=e-1,n=4

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