Question

設(shè)函數(shù)f(x)=-cos2x-4t•sin

x

2

cos

x

2

+2t2-6t+2(x∈R)
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若t∈R，將f（x）的最小值記為g（t），求g（t）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，關(guān)于t的方程g（t）=kt有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=（sinx-1）²-4，故當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）有最小值等于-4．
（2）若t∈R，由f（x）=（sinx-t）²+t²-6t+1，分t＜-1、-1≤t≤1、t＞1三種情況分別求出f（x）的
最小值g（t）的解析式．
（3）由題意可得方程 t²-6t+1-kt=0 在[-1，1]內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根，分△=0和△＞0兩種情況，分別求得求得
實(shí)數(shù)k的取值范圍，再把得到的實(shí)數(shù)k的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=-cos²x-2sinx+2-6+2=sin²x-2sinx-3=（sinx-1）²-4，
故當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）有最小值等于-4．
（2）若t∈R，∵f（x）=-cos²x-2tsinx+2t²-6t+2=sin²x-2tsinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，
且-1≤sinx≤1．
當(dāng)t＜-1時(shí)，則當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（x）取得最小值g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2．
當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，則當(dāng)sinx=t時(shí)，f（x）的最小值g（t）=t²-6t+1．
當(dāng)t＞1時(shí)，則當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）的最小值g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．
綜上，g（t）=

2t2- 4t  + 2 ，   t ＜-1 t2- 6t + 1   ， -1≤t ≤1 2t2- 8t +2 ，   t ＞1

．
（3）當(dāng)-1≤t≤1時(shí)，關(guān)于t的方程g（t）=kt 即 t²-6t+1=kt．由題意可得 
關(guān)于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在[-1，1]內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根，
①當(dāng)△=（6+k）²-4=0時(shí)，應(yīng)有-1≤

6+k

2

≤1，解得  k=-4，或k=-8．
若 k=-4，方程有兩個(gè)相等的根t=1，若 k=-8，方程有兩個(gè)相等的根t=-1．
②當(dāng)△=（6+k）²-4＞0時(shí)，即 k＜-8，或k＞-4時(shí)，
令h（t）=t²-6t+1-kt，由題意可得  h（-1）h（1）=（k+8）（-k-4）＜0，解得 k＜-8，或 k＞-4．
綜合①②可得，當(dāng)k≥-4，或k≤-8 時(shí)，關(guān)于t的方程g（t）=kt有且只有一個(gè)實(shí)根．
故所求的實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-8[∪[-4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．