Question

17．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)，0≤φ≤π），曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求C₁的普通方程并指出它的軌跡；
（Ⅱ）以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，射線OM：θ=$\frac{π}{4}$與半圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)，0≤φ≤π），消去參數(shù)φ可得普通方程，注意y的取值范圍．
（II）由半圓C：（x-2）²+y²=4，（0≤y≤2）化為極坐標方程：ρ=4cosθ，θ∈$[0，\frac{π}{2}]$，把$θ=\frac{π}{4}$代入可得|OP|．曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程，進而得到極坐標方程，把θ=$\frac{π}{4}$代入可得：|OQ|．利用|PQ|=|OQ|-|OP|即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)，0≤φ≤π），
消去參數(shù)φ可得普通方程：（x-2）²+y²=4．
∵0≤φ≤π，
∴0≤x≤4，0≤y≤2．
∴它表示上半圓，其圖象在x軸的上方及其x軸上的兩點（0，0），（4，0）．
（II）由半圓C：（x-2）²+y²=4，（0≤y≤2）化為極坐標方程：ρ=4cosθ，θ∈$[0，\frac{π}{2}]$，
把$θ=\frac{π}{4}$代入可得ρ=4$cos\frac{π}{4}$=2$\sqrt{2}$，
∴|OP|=2$\sqrt{2}$．
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t化為普通方程：x+y=6，
可得極坐標方程：ρcosθ+ρsinθ=6，
把θ=$\frac{π}{4}$代入可得：ρ=$\frac{6}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=3$\sqrt{2}$=|OQ|．
∴|PQ|=|OQ|-|OP|=3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．