Question

12．如圖，正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AA₁，BC上，若直線EF與棱C₁D₁相交，則|A₁E|+|CF|的最小值是1．

Answer 1

分析 將圖形沿著C₁C剪開(kāi)，平鋪到平面A₁B上，|A₁E|+|CF|的最小時(shí)，EF經(jīng)過(guò)B₁，設(shè)|A₁E|=x，|CF|=y，利用三角形的相似得出x，y的關(guān)系，再利用基本不等式，求出|A₁E|+|CF|的最小值．

解答 解：將圖形沿著C₁C剪開(kāi)，平鋪到平面A₁B上，|A₁E|+|CF|的最小時(shí)，EF經(jīng)過(guò)B₁，
設(shè)|A₁E|=x，|CF|=y，則$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2+y}$，∴y=$\frac{1}{x}$-1，
∴|A₁E|+|CF|=x+y=x+$\frac{1}{x}$-1≥2-1=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，取等號(hào)，
∴|A₁E|+|CF|的最小值是1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查|A₁E|+|CF|的最小值，考查基本不等式的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．