Question

14．已知函數(shù)f（x）=（kx+a）e^x的極值點(diǎn)為-a-1，其中k，a∈R，且a≠0．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)A（0，a）處的切線l與直線y=|2a-2|x平行，求l的方程；
（2）若?a∈[1，2]，函數(shù)f（x）在（b-e^a，2）上為增函數(shù)，求證：e²-3≤b＜e^a+2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出k的值，從而求出a的值，帶入a的值，求出切線方程即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為x≥-a-1對x∈（b-e^a，2）恒成立，根據(jù)-a-1≤b-e^a，即b≥e^a-a-1對a∈[1，2]恒成立，設(shè)g（a）=e^a-a-1，a∈[1，2]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時，f（x）無極值，故k≠0．
由f'（x）=（kx+a+k）e^x=0，
得$x=-\frac{a+k}{k}=-a-1$，
∴a+k=ak+k．
∵a≠0，∴k=1．
∵f'（0）=a+1=|2a-2|，∴a=3或$a=\frac{1}{3}$．
當(dāng)a=3時，f（x）=（x+3）e^x，f（0）=3，
∴l(xiāng)的方程為y=4x+3．
當(dāng)$a=\frac{1}{3}$時，$f（x）=（x+\frac{1}{3}）{e^x}$，$f（0）=\frac{1}{3}$，
∴l(xiāng)的方程為$y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$．
（2）證明：由題可知f'（x）=（x+a+1）e^x≥0對x∈（b-e^a，2）恒成立，
∵e^x＞0，∴x+a+1≥0，即x≥-a-1對x∈（b-e^a，2）恒成立，
∴-a-1≤b-e^a，即b≥e^a-a-1對a∈[1，2]恒成立．
設(shè)g（a）=e^a-a-1，a∈[1，2]，則g'（a）=e^a-1＞0，
∴g（a）在[1，2]上遞增，∴$g{（a）_{max}}=g（2）={e^2}-3$，∴b≥e²-3．
又（b-e^a＜2，∴e²-3≤b＜e^a+2．

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．