Question

8．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，且a₁+a₃=20，a₂=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\frac{n}{a_n}$，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，對任意正整數(shù)n不等式${S_n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}＞{（-1）^n}•a$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，l利用a₁+a₃=20，a₂=8．列出方程組，求出首項與公比然后求解通項公式．
（Ⅱ）利用錯位相減法求和求出S_n，∴${（-1）^n}•a＜1-\frac{1}{2^n}$對任意正整數(shù)n恒成立，設(shè)$f（n）=1-\frac{1}{2^n}$，f（n）單調(diào)遞增．通過n為奇數(shù)時，n為偶數(shù)時，分別f（n）的最小值，求解實數(shù)a的取值范圍．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，a₁+a₃=20，a₂=8．
則$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}（1+{q^2}）=20}\\{{a_1}q=8}\end{array}}\right.$，…（1分）
∴2q²-5q+2=0…（2分）
∵公比q＞1，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=4}\\{q=2}\end{array}}\right.$，∴數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={2^{n+1}}$．…（5分）
（Ⅱ）解：∴${S_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2^3}+\frac{2}{2^4}+…+\frac{n-1}{{{2^{n+1}}}}+\frac{n}{{{2^{n+2}}}}$
∴$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…\frac{1}{{{2^{n+1}}}}-\frac{n}{{{2^{n+2}}}}$…（7分）
∴S_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}}}{{\frac{1}{2}}}-\frac{n}{{{2^{n+1}}}}=1-\frac{n+2}{{{2^{n+1}}}}$…（9分）
∴${（-1）^n}•a＜1-\frac{1}{2^n}$對任意正整數(shù)n恒成立，設(shè)$f（n）=1-\frac{1}{2^n}$，易知f（n）單調(diào)遞增．                                                          …（10分）
n為奇數(shù)時，f（n）的最小值為$\frac{1}{2}$，∴$-a＜\frac{1}{2}$得$a＞-\frac{1}{2}$，…（11分）
n為偶數(shù)時，f（n）的最小值為$\frac{3}{4}$，∴$a＜\frac{3}{4}$，…（12分）
綜上，$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{4}$，即實數(shù)a的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$．        …（13分）

點評 本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，數(shù)列求和，數(shù)列與不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．