【題目】如圖，已知拋物線，為的焦點，為準線，且與軸的交點為.過點任意作一條直線交拋物線于兩點.

（1）若 ,求證：;

（2）設為線段的中點，為奇質(zhì)數(shù)，且點到軸的距離和點到準線的距離均為非零整數(shù).求證：點到坐標原點的距離不可能是整數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）點的坐標為，設過點的直線方程為.代入，得 ①

設，則、是方程①的兩個根，有，.

由，得.

因為

又 ，，，所以

.

故.

（2）設.依題意均為非零整數(shù).

由對稱性，不妨設，則. ②

因為點在線段上，所以

. ③

由式②、③消去，得

④

假設為正整數(shù)，則

⑤

因為為奇質(zhì)數(shù)，由式④知，，從而.

于是，由式⑤知.

令，， ，則

.

消去，得，即

.

又與有相同的奇偶性，且，所以，

解得，.

從而，.于是，，這與為正整數(shù)矛盾.

故點到坐標原點的距離不可能是整數(shù).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，

（1）若A只有一個元素，試求a的值，并求出這個元素；

（2）若A是空集，求a的取值范圍；

（3）若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】據(jù)統(tǒng)計,某5家鮮花店今年4月的銷售額和利潤額資料如下表：

鮮花店名稱

A

B

C

D

E

銷售額x（千元）

3

5

6

7

9

利潤額y（千元）

2

3

3

4

5

（1）用最小二乘法計算利潤額y關(guān)于銷售額x的回歸直線方程=x+；

（2）如果某家鮮花店的銷售額為8千元時,利用(1)的結(jié)論估計這家鮮花店的利潤額是多少.

參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計值公式分別為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為，橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線 與橢圓交于兩點，點（0，1），且=，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直線不與坐標軸垂直，且與拋物線有且只有一個公共點.

（1）當點的坐標為時，求直線的方程；

（2）設直線與軸的交點為，過點且與直線垂直的直線交拋物線于，兩點.當時，求點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地環(huán)保部門跟蹤調(diào)查一種有害昆蟲的數(shù)量．根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，該昆蟲的數(shù)量（萬只）與時間（年）（其中）的關(guān)系為．為有效控制有害昆蟲數(shù)量、保護生態(tài)環(huán)境，環(huán)保部門通過實時監(jiān)控比值（其中為常數(shù)，且）來進行生態(tài)環(huán)境分析．

（1）當時，求比值取最小值時的值；

（2）經(jīng)過調(diào)查，環(huán)保部門發(fā)現(xiàn)：當比值不超過時不需要進行環(huán)境防護．為確保恰好3年不需要進行保護，求實數(shù)的取值范圍．（為自然對數(shù)的底， ）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù)

（1）當時，討論的單調(diào)性

（2）當時，是否存在整數(shù)使得關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解？若存在，求出整數(shù)的最小值；若不存在，請說明理由.

參考數(shù)據(jù)：，，，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓上．

（1）求圓的方程；

（2）若圓與直線交于，兩點，且，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一汽車廠生產(chǎn)，，三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有類轎車10輛．

轎車

轎車

轎車

舒適型

100

150

標準型

300

450

600

（1）求的值；

（2）用分層抽樣的方法在類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；

（3）用隨機抽樣的方法從類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2 把這8輛轎車的得分看作一個總體，從中任取一個得分數(shù)，記這8輛轎車的得分的平均數(shù)為，定義事件，且函數(shù)沒有零點，求事件發(fā)生的概率．

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