Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1+sin2x，sinx-cosx），$\overrightarrow$=（1，sinx+cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值；
（2）若f（θ）=$\frac{8}{5}$，求cos2（$\frac{π}{4}$-2θ）的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的最值，求得f（x）的最大值及相應(yīng)的x的值．
（2）利用條件求得 sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，求得cos2（$\frac{π}{4}$-2θ）的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x））=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=1+sin2x+（sinx-cosx）•（sinx+cosx）
=1+sin2x-cos2x=1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
故函數(shù)f（x）的最大值為1+$\sqrt{2}$，此時(shí)，2x-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z．
（2）若f（θ）=1+$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{8}{5}$，則 sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，
∴cos2（$\frac{π}{4}$-2θ）=cos2（2θ-$\frac{π}{4}$）=1-2${sin}^{2}（2θ-\frac{π}{4}）$=1-2×$\frac{18}{100}$=$\frac{64}{100}$=$\frac{16}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的最值，誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．