Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx-1當(dāng)x=-2時(shí)有極值，且在x=-1處的切線的斜率為-3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值；
（3）若過點(diǎn)P（1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）在x=-2時(shí)有極值，且在x=-1處的切線的斜率為-3，可有：$\left\{\begin{array}{l}{f'（-2）=0}\\{f'（-1）=-3}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=0}\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=x³+3x²-1，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極值；
（3）過點(diǎn)P（1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，即存在三個(gè)x₀，也即是y=m與h（x）=-2${x}_{0}^{3}$+6x₀-1有三個(gè)交點(diǎn)．

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2bx+c
f（x）在x=-2時(shí)有極值，且在x=-1處的切線的斜率為-3
可有：$\left\{\begin{array}{l}{f'（-2）=0}\\{f'（-1）=-3}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=0}\end{array}\right.$
函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=x³+3x²-1
（2）由（1）知：f'（x）=3x²+6x
令f'（x）=0，有x₁=0，x₂=-2．
所以，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增；
∴f（x）_min=f（0）=-1；f（x）_max=max{f（-1），f（2）}=f（2）=19．
（3）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，${x}_{0}^{3}$+3${x}_{0}^{2}$-1）
切線斜率為：k=f'（x₀）=3${x}_{0}^{2}$+6x₀
∴切線方程為：y-（${x}_{0}^{3}$+3${x}_{0}^{2}$-1）=（3${x}_{0}^{2}$+6x₀）（x-x₀） ①
又切線過點(diǎn)P（1，m），帶入①化簡(jiǎn)為：m=-2${x}_{0}^{3}$+6x₀-1
令y=m 與 h（x₀）=-2${x}_{0}^{3}$+6x₀-1
 h（-1）=-5，h（1）=3，h（0）=-1；
h'（x₀）=-6${x}_{0}^{2}$+6，令h'（x₀）=0⇒x₁=-1，x₂=1；
h（x₀）在（-∞，-1），（1，+∞）單調(diào)遞減，（-1，1）上單調(diào)遞增；
過點(diǎn)P（1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，即存在三個(gè)x₀，也即是y=m與h（x）有三個(gè)交點(diǎn)．
故如圖所知：-5＜m＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與切線方程，函數(shù)極值，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)與方程思想，屬中等題．