Question

5．一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500克，按每年10%衰減．
（1）求t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式；
（2）用求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期．（放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變時所需要的時間，叫“半衰期”）（lg0.5≈-0.3010，lg0.9≈-0.0458，結(jié)果精確到0.1）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)最初的質(zhì)量為500克，按每年10%衰減，可得t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式；
（2）根據(jù)題意得，解方程500×0.9^t=250，兩邊取對數(shù)，再用換底公式變形，代入已知數(shù)據(jù)可得x的近似值，四舍五入即可得出正確答案．

解答 解：（1）最初的質(zhì)量為500g，
經(jīng)過1年后，ω=500（1-10%）=500×0.9¹，
經(jīng)過2年后，ω=500×0.9（1-10%）=500×0.9²，
由此推知，t年后，ω=500×0.9^t，
∴t年后，ω關(guān)于t的表達(dá)式為ω=500×0.9^t．    …6 分
（2）根據(jù)題意得，解方程500×0.9^t=250，0.9^t=0.5
∴l(xiāng)g0.9^t=lg0.5，∴tlg0.9=lg0.5，
∴t=$\frac{lg0.5}{lg0.9}$≈6.6（年），
即這種放射性元素的半衰期約為6.6年．…6 分

點評 本題以實際問題為載體，考查指數(shù)函數(shù)模型的構(gòu)建，考查解指數(shù)方程，屬于中檔題．