Question

15．某皮革公司旗下有許多手工足球作坊為其生產(chǎn)足球，公司打算生產(chǎn)兩種不同類型的足球，一款叫“飛火流星”，另一款叫“團隊之星”．每生產(chǎn)一個“飛火流星”足球，需要橡膠100g，皮革300g；每生產(chǎn)一個“團隊之星”足球，需要橡膠50g，皮革400g．且一個“飛火流星”足球的利潤為40元，一個“團隊之星”足球的利潤為30元．現(xiàn)旗下某作坊有橡膠材料2.5kg，皮革12kg．
（1）求該作坊可獲得的最大利潤；
（2）若公司規(guī)定各作坊有兩種方案可供選擇，方案一：作坊自行出售足球，則所獲利潤需上繳10%方案二：作坊選擇由公司代售，則公司不分足球類型，一律按相同的價格回收，作坊每個球獲得30元的利潤．若作坊所生產(chǎn)的足球可全部售出，請問該作坊選擇哪種方案更劃算？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設該作坊生產(chǎn)“飛火流星”足球x個，“團隊之星”足球y個，作坊獲得的利潤為z元．則$\left\{{\begin{array}{l}{100x+50y≤2500}\\{300x+400y≤12000}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\begin{array}{l}{\;}\\ left\{\;}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0，y≥0}\end{array}}\right.$，目標函數(shù)z=40x+30y，（x，y∈N）．由圖可求該作坊可獲得的最大利潤．
（2）分別求出兩種方案的利潤即可．

解答 【解析】（1）設該作坊生產(chǎn)“飛火流星”足球x個，
“團隊之星”足球y個，作坊獲得的利潤為z元．


則$\left\{\begin{array}{l}{100x+50y≤2500}\\{300x+400y≤1200}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
目標函數(shù)z=40x+30y，（x，y∈N）．…（3分）
由圖可知，當直線l經(jīng)過點（16，18）時，
z取得最大值1180，即該作坊可獲得的最大利潤為1180元．…（6分）
（2）若作坊選擇方案一，則其收益為1180×（1-10%）=1062元；…（8分）
若作坊選擇方案二，則作坊生產(chǎn)的足球越多越好，設其生產(chǎn)的足球個數(shù)為t，
則t=x+y，（x，y∈N），由（1）知$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≤50}\\{3x+4y≤120}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，
作圖分析可知，當x=16，y=18時，t取得最大值，此時作坊的收益為（16+18）×30=1020元，
故選擇方案一更劃算．…（12分）

點評 本題考查了一次函數(shù)、不等式組，及線性規(guī)劃問題，屬于中檔題．