Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)又恰為拋物線的焦點(diǎn)，以為直徑的圓與橢圓僅有兩個(gè)公共點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線與相交于，兩點(diǎn)，記點(diǎn)，到直線的距離分別為，，．直線與相交于，兩點(diǎn)，記，的面積分別為，．

（ⅰ）證明：的周長(zhǎng)為定值；

（ⅱ）求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）詳見(jiàn)解析；（ii）．

【解析】

（1）由已知求得，可得，又以為直徑的圓與橢圓僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，知，從而求得與的值，則答案可求；

（2）由題意，為拋物線的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，，結(jié)合，可知等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)成立．可得直線過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義即可證明為定值；

若直線的斜率不存在，則直線的方程為，求出與可得；若直線的斜率存在，可設(shè)直線方程為，，，，，，，，，方便聯(lián)立直線方程與拋物線方程，直線方程與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求得，，可得，由此可求的最大值．

解：（1）因?yàn)?/span>為拋物線的焦點(diǎn)，故

所以

又因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與橢圓僅有兩個(gè)公共點(diǎn)知：

所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）（�。┯深}知，因?yàn)?/span>為拋物線的準(zhǔn)線

由拋物線的定義知：

又因?yàn)?/span>，等號(hào)當(dāng)僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)成立

所以直線過(guò)定點(diǎn)

根據(jù)橢圓定義得：

（ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的方程為

因?yàn)?/span>，，所以

若直線的斜率存在，則可設(shè)直線，設(shè)，

由得，

所以，

設(shè)，，

由得，

則，

所以

則

綜上知：的最大值等于