Question

19．方程lg（4x²+4ax）=1g（4x-a+1）有唯一解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{5}$，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)方程的性質(zhì)將方程轉(zhuǎn)化為不等式組，利用一元二次方程根與判別式△的關(guān)系進(jìn)行討論求解即可．

解答 解：原方程等價(jià)于條件組：$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+4ax＞0}\\{4x-a+1＞0}\\{4{x}^{2}+4ax=4x-a+1}\end{array}\right.$，
由4x²+4ax=4x-a+1得4x²+4（a-1）x+a-1=0．
△=16（a-1）²-16（a-1）=16（a-1）（a-2）．
當(dāng)△=0時(shí)，得a=1，或a=2．
代入條件組中可知，①a=1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+4x＞0}\\{4x＞0}\\{4{x}^{2}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0或x＜-1}\\{x＞0}\\{x=0}\end{array}\right.$，不等式組無(wú)解，
②當(dāng)a=2時(shí)．$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{2}+8x＞0}\\{4x＞1}\\{4{x}^{2}+4x+1=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0或x＜-2}\\{x＞\frac{1}{4}}\\{x=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，不等式組無(wú)解．故△≠0．
當(dāng)△＞0時(shí)，有a＜1或a＞2．此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{a-1}{4}}\\{4{x}^{2}+4（a-1）x+a-1=0}\end{array}\right.$，
若此時(shí)lg（4x²+4ax）=1g（4x-a+1）有唯一解，
則等價(jià)為方程4x²+4（a-1）x+a-1=0在（$\frac{a-1}{4}$，+∞）上有唯一一個(gè)解，
若方程的一個(gè)根為x=$\frac{a-1}{4}$，代入方程4（$\frac{a-1}{4}$）²+4（a-1）•$\frac{a-1}{4}$+a-1=0
得$\frac{a-1}{4}$+（a-1）=-1，得a=$\frac{1}{5}$，
設(shè)4x²+4（a-1）x+a-1=0有兩不等實(shí)根x₁，x₂（$\frac{1}{5}$≤a≤1）
由前可知，a≠1．當(dāng)a=$\frac{1}{5}$時(shí)，條件組中的方程為4x²-$\frac{16}{5}$x-$\frac{4}{5}$=0．
則x₁=-$\frac{1}{5}$，x₂═1．此時(shí)，$\frac{a-1}{4}$=-$\frac{1}{5}$．
滿(mǎn)足x₁≤$\frac{a-1}{4}$，x₂＞$\frac{a-1}{4}$．
綜上可知，$\frac{1}{5}$≤a＜1．即a∈[$\frac{1}{5}$，1）．
故答案為：[$\frac{1}{5}$，1）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)對(duì)數(shù)方程的等價(jià)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合一元二次函數(shù)根與判別式△的關(guān)系進(jìn)行討論，注意對(duì)數(shù)對(duì)定義域的限制要求．