Question

15．已知m∈R，函數(shù)f（x）=x³-mx在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則m的最大值是3．

Answer 1

分析 法一：先利用導函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，再讓[1，+∞）是所求區(qū)間的子集可得結(jié)論．
法二：由題意m＞0，函數(shù)f（x）=x³-mx，首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進行判斷．

解答 解：法一∵f（x）=x³-mx，∴f′（x）=3x²-m=3（x-$\sqrt{\frac{m}{3}}$）（x+$\sqrt{\frac{m}{3}}$）
∴f（x）=x³-mx在（-∞，-$\sqrt{\frac{m}{3}}$），（$\sqrt{\frac{m}{3}}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∵函數(shù)f（x）=x³-mx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴$\sqrt{\frac{m}{3}}$≤1⇒m≤3，
∴m的最大值為 3；
法二：由法一得f′（x）=3x²-m，
∵函數(shù)f（x）=x³-mx在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，
即m≤3x²在[1，+∞）上恒成立，
∴m≤3，
故答案為：3．

點評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．