Question

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
（1）比較f（-3）與f（π）的大小
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知條件將f（x）的自變量的值都變到f（x）的單調(diào)增區(qū)間：[0，+∞）上，f（-3）=f（3），f（3）＜f（π），所以f（-3）＜f（π）；
（2）根據(jù)lgx在區(qū)間[0，+∞）上，和不在該區(qū)間上對lgx的取值進(jìn)行討論：lgx≥0時，則有1＜lgx，所以便可解得x＞10；lgx＜0時，f（lgx）=f（-lgx），則有1＜-lgx，所以解得0＜x＜

1

10

，對這兩種情況得到的x求并集即得x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的偶函數(shù)；
∴f（-3）=f（3），f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)，3＜π；
∴f（3）＜f（π），即f（-3）＜f（π）；
（2）若lgx≥0，即x≥1，根據(jù)f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，由f（1）＜f（lgx）得：1＜lgx，
∴x＞10；
若lgx＜0，即0＜x＜1，f（lgx）=f（-lgx），所以由f（1）＜f（lgx）得：1＜-lgx，
∴0＜x＜

1

10

；
∴綜上得x的取值范圍是(0，

1

10

)∪(10，+∞)．

點(diǎn)評：考查偶函數(shù)、單調(diào)遞增函數(shù)的概念，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，解不等式，及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．