Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）記b_n=S_n-3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a_n+1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得S_n+1=2S_n+3ⁿ，由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，從而能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由S_n=3ⁿ+（a-3）•2^n-1，n∈N^*，得a_n=S_n-S_n-1=2×3^n-1+（a-3）•2^n-2，從而a_n+1-a_n=2n-2[12•(

3

2

)n-2+a-3]，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1≥a_n，等價(jià)于12•(

3

2

)n-2+a-3≥0，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意，Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n，
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，
由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n)，
又S₁-3=a-3，
∴{Sn-3n}是首項(xiàng)為a-3，公比為2的等比數(shù)列，
∴所求通項(xiàng)公式為bn=Sn-3n=（a-3）•2^n-1，n∈N^*．
（2）由（1）知S_n=3ⁿ+（a-3）•2^n-1，n∈N^*，
于是，當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+（a-3）×2^n-1-3^n-1-（a-3）×2^n-2
=2×3^n-1+（a-3）•2^n-2，
a_n+1-a_n=4×3^n-1+（a-3）•2^n-2
=2n-2[12•(

3

2

)n-2+a-3]，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1≥a_n，等價(jià)于12•(

3

2

)n-2+a-3≥0，
解得a≥-9．
又a₂=a₁+3＞a₁，
∴a的取值范圍是[-9，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．