Question

函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x＞0時，f(x)＞1.
（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；
（2）若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)＜3.

Answer 1

（1）證明見解析（2）解集為（-1, ）

（1）設(shè)x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂,
則x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＞1.                                            2分
f(x₂)-f(x₁)=f((x₂-x₁)+x₁)-f(x₁)
=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1＞0.                                     5分
∴f（x₂）＞f(x₁).
即f(x)是R上的增函數(shù).                                          7分
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，
∴f（2）=3，                                              10分
∴原不等式可化為f(3m²-m-2)＜f(2),
∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m²-m-2＜2,                                 12分
解得-1＜m＜,故解集為（-1, ）.                    14分