Question

2012年第三季度，國(guó)家電網(wǎng)決定對(duì)城鎮(zhèn)居民民用電計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)做出調(diào)整，并根據(jù)用電情況將居民分為三類：第一類的用電區(qū)間在（0，170]，第二類在（170，260]，第三類在（260，+∞）（單位：千瓦時(shí)．某小區(qū)共有1000戶居民，現(xiàn)對(duì)他們的用電情況進(jìn)行調(diào)查，得到頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求該小區(qū)居民用電量的中位數(shù)與平均數(shù)；
（2）利用分層抽樣的方法從該小區(qū)內(nèi)選出10位居民代表，若從該10戶居民代表中任選兩戶居民，求這兩戶居民用電資費(fèi)屬于不同類型的概率；
（3）若該小區(qū)長(zhǎng)期保持著這一用電消耗水平，電力部門為鼓勵(lì)其節(jié)約用電，連續(xù)10個(gè)月，每個(gè)月從該小區(qū)居民中隨機(jī)抽取1戶，若取到的是第一類居民，則發(fā)放禮品一份，設(shè)X為獲獎(jiǎng)戶數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E（X）與方差D（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，平均數(shù)，規(guī)律是：中位數(shù)，出現(xiàn)在概率是0.5的地方，平均數(shù)為每個(gè)矩形的面積與底邊中點(diǎn)乘積之和．
（2）計(jì)算利用分層抽樣方法，從中取10戶居民，分別抽取的一類、二類人數(shù)；再計(jì)算從該10戶居民代表中任選兩戶居民人的總?cè)》ǚN數(shù)和這兩戶居民用電資費(fèi)屬于不同類的取法種數(shù)，代入古典概型概率公式計(jì)算．
（3）由題意知，取到的是第一類居民的概率，以及X服從二項(xiàng)分布，進(jìn)而可求X的數(shù)學(xué)期望E（X）與方差D（X）．

解答： 解：（1）∵從左邊開(kāi)始，前兩個(gè)小矩形的面積之和為0.005×20+0.015×20=0.1+0.3=0.4＜0.5，
設(shè)中位數(shù)為150+x，則0.02×x+0.4=0.5，解得x=5，∴中位數(shù)為155．
平均數(shù)為120×0.1+140×0.3+160×0.4+180×0.1+200×0.06+220×0.04=156.8；
（2）利用分層抽樣的方法從該小區(qū)內(nèi)選出10位居民代表，
得一類居民8戶，二類居民2戶，從中任取2戶，共有

C

2 10

=45種；
兩戶來(lái)自不同類型的有

C

1 8

C

1 2

=16種，
∴兩戶居民用電資費(fèi)屬于不同類型的概率為

16

45

；
（3）由題意知，該小區(qū)的第一類居民占80%，
則每個(gè)月從該小區(qū)居民中隨機(jī)抽取1戶，取到的是第一類居民的概率為0.8，
連續(xù)10個(gè)月抽取，設(shè)X為獲獎(jiǎng)戶數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，
故X的數(shù)學(xué)期望E（X）=nP=10×0.8=8，
方差D（X）=nP（1-P）=10×0.8×0.2=1.6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用頻率分布直方圖求中位數(shù)、平均數(shù)，考查了分層抽樣方法及古典概型的概率計(jì)算以及利用二項(xiàng)分布求期望與方差，考查了學(xué)生分析解答問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．