Question

【題目】十九大提出：堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，做到精準扶貧.某縣積極引導農(nóng)民種植一種名貴中藥材，從而大大提升了該縣村民的經(jīng)濟收入.2019年年底，該機構(gòu)從該縣種植的這種名貴藥材的農(nóng)戶中隨機抽取了100戶，統(tǒng)計了他們2019年因種植，中藥材所獲純利潤(單位：萬元)的情況(假定農(nóng)戶因種植中藥材這一項一年最多獲利11萬元)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：

（1）由表可以認為，該縣農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤Z(單位：萬元)近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值)，近似為樣本方差.若該縣有1萬戶農(nóng)戶種植了該中藥材，試估算所獲純利潤Z在區(qū)間(1.9，8.2)的戶數(shù)；

（2）為答謝廣大農(nóng)戶的積極參與，該調(diào)查機構(gòu)針對參與調(diào)查的農(nóng)戶舉行了抽獎活動，抽獎規(guī)則如下：在一箱子中放置5個除顏色外完全相同的小球，其中紅球1個，黑球4個.讓農(nóng)戶從箱子中隨機取出一個小球，若取到紅球，則抽獎結(jié)束；若取到黑球，則將黑球放回箱中，讓他繼續(xù)取球，直到取到紅球為止(取球次數(shù)不超過10次).若農(nóng)戶取到紅球，則視為中獎，獲得2000元的獎勵，若一直未取到紅球，則視為不中獎.現(xiàn)農(nóng)戶張明參加了抽獎活動，記他中獎時取球的次數(shù)為隨機變量X，他取球的次數(shù)為隨機變量Y.

①證明：為等比數(shù)列；

②求Y的數(shù)學期望.(精確到0.001)

參考數(shù)據(jù)：.若隨機變量則.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②..

【解析】

(1)根據(jù)題意求出樣本平均數(shù)即可得出即,則可根據(jù),求出其所獲純利潤Z在區(qū)間(1.9，8.2)的戶數(shù)；

(2) ①因為每次取球都恰有的概率取到紅球,即，則可證明之.

②根據(jù)①所求的,根據(jù)當時,,代入,再利用錯位相減求出其值即可.

（1）由題意知：

所以樣本平均數(shù)為（萬元），

所以，

所以，

而.

故1萬戶農(nóng)戶中，Z落在區(qū)間的戶數(shù)約為.

（2）①每次取球都恰有的概率取到紅球.

則有，

，

故為以為首項為公比的等比數(shù)列.

②由①可知，當時,,

.

故Y的數(shù)學期望為

設(shè)，

則，

兩式作差得,

.